Bresenham 直線演算法是用來描繪由兩點所決定的直線的演算法，它會算出一條線段在 n 維光柵上最接近的點。這個演算法只會用到較為快速的整數加法、減法和位元移位，常用於繪製電腦畫面中的直線。是計算機圖形學中最先發展出來的演算法。
經過少量的延伸之後，原本用來畫直線的演算法也可用來畫圓。且同樣可用較簡單的算術運算來完成，避免了計算二次方程式或三角函數，或遞歸地分解為較簡單的步驟。
以上特性使其仍是一種重要的演算法，並且用在繪圖儀、繪圖卡中的繪圖晶片，以及各種圖形程式庫。這個演算法非常的精簡，使它被實作於各種裝置的韌體，以及繪圖晶片的硬體之中。
「Bresenham」至今仍經常作為一整個演算法家族的名稱，即使家族中絕大部份演算法的實際開發者是其他人。該家族的演算法繼承了 Bresenham 的基本方法並加以發展，詳見參考資料。
演算方法
假設我們需要由 (x0, y0) 這一點，繪畫一直線至右下角的另一點(x1, y1)，x,y分別代表其水平及垂直座標，並且 x1 - x0 > y1 - y0。在此我們使用電腦系統常用的座標系，即x座標值沿x軸向右增長，y座標值沿y軸向下增長。
因此x及y之值分別向右及向下增加，而兩點之水平距離為x1 − x0且垂直距離為y1-y0。由此得之，該線的斜率必定介乎於1至0之間。而此演算法之目的，就是找出在x0與x1之間，第x行相對應的第y列，從而得出一像素點，使得該像素點的位置最接近原本的線。
對於由(x0, y0)及(x1, y1)兩點所組成之直線，公式如下：
因此，對於每一點的x，其y的值是
因為x及y皆為整數，但並非每一點x所對應的y皆為整數，故此沒有必要去計算每一點x所對應之y值。反之由於此線之斜率介乎於1至0之間，故此我們只需要找出當x到達那一個數值時，會使y上升1，若x尚未到此值，則y不變。至於如何找出相關的x值，則需依靠斜率。斜率之計算方法為m = (y1 − y0) / (x1 − x0)。由於此值不變，故可於運算前預先計算，減少運算次數。
要實行此演算法，我們需計算每一像素點與該線之間的誤差。於上述例子中，誤差應為每一點x中，其相對的像素點之y值與該線實際之y值的差距。每當x的值增加1，誤差的值就會增加m。每當誤差的值超出0.5，線就會比較靠近下一個映像點，因此y的值便會加1，且誤差減1。
下列偽代碼是這演算法的簡單表達（其中的plot(x,y)繪畫該點，abs返回的是絕對值）。雖然用了代價較高的浮點運算，但很容易就可以改用整數運算（詳見最佳化）：
function line(x0, x1, y0, y1)
int deltax := x1 - x0
int deltay := y1 - y0
real error := 0
real deltaerr := deltay / deltax // 假設 deltax != 0 （非垂直線），
// 注意：需保留除法運算結果的小數部份
int y := y0
for x from x0 to x1
plot(x,y)
error := error + deltaerr
if abs(error) ≥ 0.5 then
y := y + 1
error := error - 1.0
一般化
雖然以上的演算法只能繪畫由右上至左下，且斜率小於或等於1的直線，但我們可以擴展此演算法，使之可繪畫任何的直線。
第一個擴展是繪畫反方向，即由左下至右上的直線。這可以簡單地透過在x0 > x1時交換起點和終點來做到。
第二個擴展是繪畫斜率為負的直線。可以檢查y0 ≥ y1是否成立；若該不等式成立，誤差超出0.5時y的值改為加-1。
第三,我們還需要擴展該演算法，使之可以繪畫斜率絕對值大於1的直線。要做到這點，我們可以利用大斜率直線對直線y=x的反射是一條小斜率直線的事實，在整個計算過程中交換 x 和 y，並一併將plot的參數順序交換。擴展後的偽代碼如下：
function line(x0, x1, y0, y1)
boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
if steep then
swap(x0, y0)
swap(x1, y1)
if x0 > x1 then
swap(x0, x1)
swap(y0, y1)
int deltax := x1 - x0
int deltay := abs(y1 - y0)
real error := 0
real deltaerr := deltay / deltax
int ystep
int y := y0
if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
for x from x0 to x1
if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
error := error + deltaerr
if error ≥ 0.5 then
y := y + ystep
error := error - 1.0
以上的程序可以處理任何的直線，實作了完整的Bresenham直線演算法。
最佳化
以上的程序有一個問題：電腦處理浮點運算的速度比較慢，而error與deltaerr的計算是浮點運算。此外，error的值經過多次浮點數加法之後，可能有累積誤差。使用整數運算可令演算法更快、更準確。只要將所有以上的分數數值乘以deltax，我們就可以用整數來表示它們。唯一的問題是程序中的常數0.5—我們可以透過改變error的初始方法，以及將error的計算由遞增改為遞減來解決。新的程序如下：
function line(x0, x1, y0, y1)
boolean steep := abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
if steep then
swap(x0, y0)
swap(x1, y1)
if x0 > x1 then
swap(x0, x1)
swap(y0, y1)
int deltax := x1 - x0
int deltay := abs(y1 - y0)
int error := deltax / 2
int ystep
int y := y0
if y0 < y1 then ystep := 1 else ystep := -1
for x from x0 to x1
if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
error := error - deltay
if error < 0 then
y := y + ystep
error := error + deltax
歷史Jack E. Bresenham於1962年在IBM發明了此演算法。據他本人表示，他於1963年在丹佛舉行的美國計算機協會全國大會上發表了該演算法，論文則登載於1965年的《IBM系統期刊》 (IBM Systems Journal) 之中。[1]Bresenham直線演算法其後被修改為能夠畫圓，修改後的演算法有時被稱為「Bresenham畫圓演算法」或中點畫圓演算法。Sample C code 1Bresenham(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
int dx, dy, i, e;
int incx, incy, inc1, inc2;
int x,y; dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1; if(dx < 0) dx = -dx;
if(dy < 0) dy = -dy;
incx = 1;
if(x2 < x1) incx = -1;
incy = 1;
if(y2 < y1) incy = -1;
x=x1;
y=y1; if(dx > dy)
{
draw_pixel(x,y, BLACK);
e = 2*dy - dx;
inc1 = 2*( dy -dx);
inc2 = 2*dy;
for(i = 0; i < dx; i++)
{
if(e >= 0)
{
y += incy;
e += inc1;
}
else e += inc2;
x += incx;
draw_pixel(x,y, BLACK);
}
}
else
{
draw_pixel(x,y, BLACK);
e = 2*dx - dy;
inc1 = 2*( dx - dy);
inc2 = 2*dx;
for(i = 0; i < dy; i++)
{
if(e >= 0)
{
x += incx;
e += inc1;
}
else e += inc2;
y += incy;
draw_pixel(x,y, BLACK);
}
}
}Sample C code 2void GUI_Line(U16 x0, U16 y0, U16 x1, U16 y1, TCOLOR color)
{ U16 dx, dy;
U8 dx_sym,dy_sym;
U16 dx_x2, dy_x2, di;
dx = x1-x0; dy = y1-y0;
if(dx>0)
{ dx_sym = 1;
}
else
{ if(dx<0)
{ dx_sym = -1;
}
else
{
GUI_RLine(x0, y0, y1, color);
return;
}
}
if(dy>0)
{ dy_sym = 1;
}
else
{ if(dy<0)
{ dy_sym = -1;
}
else
{
GUI_HLine(x0, y0, x1, color);
return;
}
}
dx = dx_sym * dx;
dy = dy_sym * dy;
dx_x2 = dx << 1;
dy_x2 = dy << 1;
/* 使用Bresenham法進行畫直線 */
if(dx>=dy)
{ di = dy_x2 - dx;
while(x0!=x1)
{ GUI_Point(x0, y0, color);
x0 += dx_sym;
if(di<0)
{ di += dy_x2; }
else
{ di += dy_x2 - dx_x2;
y0 += dy_sym;
}
}
GUI_Point(x0, y0, color);
}
else
{ di = dx_x2 - dy;
while(y0!=y1)
{ GUI_Point(x0, y0, color);
y0 += dy_sym;
if(di<0)
{ di += dx_x2;
}
else
{ di += dx_x2 - dy_x2;
x0 += dx_sym;
}
}
GUI_Point(x0, y0, color);
}
}构建仪表、图表控件的绘制框架:http://www.vckbase.com/document/viewdoc/?id=1727
沒有留言:
張貼留言
注意：只有此網誌的成員可以留言。